Le binaire

Objectifs généraux :

• Conversions décimal binaire hexadécimal
• Présentation de l'octet
• Recherche documentaire sur internet
• Durée : au minimum 1 séance de 3 heures.

Cette séance est complémentaire de l'histoire de la numération. Une première partie, de recherche documentaire peut être initiée à la maison et terminée en classe, puis la deuxième partie, de cours et exercices sur le binaire et la numération de position, a lieu en classe.

C'est vers la fin des années 1930 que Claude Shannon démontra qu'une machine exécutant des informations logiques pouvait manipuler de l'information. A l'aide de " contacteurs " fermés pour vrai et ouverts pour faux on pouvait accomplir des opérations logiques en prenant le nombre " 1 " pour " vrai " et " 0 " pour " faux " .

Il s'agit de la base du langage avec lequel on stocke et utilise toute l'information contenue dans un ordinateur. Le système binaire est l'alphabet des calculateurs électroniques. Cela signifie qu'ils n'utilisent que deux chiffres "0" & "1" pour faire des calculs et des traitements. Étudions de plus près la base 2 et ses possibilités ainsi que les bases "dérivées".

I Le système binaire

En mathématiques, le système décimal ou base 10 est le système de numération de position où la base est dix, c’est-à-dire que les unités du deuxième ordre (les " dizaines ") valent dix unités du premier ordre, les unités du troisième ordre (les " centaines ") valent dix unités du deuxième ordre, etc. Par exemple, 248 = 8 + 4*10¹ + 2*10²

Le système binaire, lui  est le système de numération de position où la base est deux : l’alphabet est donc composé des deux seuls chiffres "0" et "1". Ce système est très utilisé par toutes "les machines numériques" à deux états qui peuvent réaliser une représentation des nombres entiers par leur désignation binaire, les deux états de la machine étant, dans le code, la traduction du 0 et du 1. Voyons de plus près la relation entre base 2 et base 102 et base 10 et familiarisons nous avec cette nouvelle "façon de compter".

II L'octet

1) Le bit

Bit abréviation de binary digit, 0 ou 1 dans le système de numération binaire. En traitement ou en stockage de l'information, le bit est la plus petite unité d'information manipulable par un ordinateur, et peut être physiquement représenté par une impulsion unique sur un circuit, ou par une petite zone d'une surface de disque, capable de stocker un 0 ou un 1. Considéré isolément, un bit a peu de signification; groupés par huit, les bits forment des octets qui peuvent représenter différentes informations, en particulier les lettres de l'alphabet et les chiffres (voir code ASCII).

2) L'octet

En informatique, l'unité d'information composée de 8 bits est l'octet. En termes de traitement et de stockage, c'est l'équivalent d'un seul caractère, tel qu'une lettre, un chiffre ou un signe de ponctuation. Un octet ne représentant qu'une petite quantité d'informations, la quantité de mémoire et la capacité de stockage sont généralement indiquées en kilo octets (1024octets) ou en méga octets (1 048.576 octets).

Avec un bit on peut représenter deux états différents : 0 ou 1

Avec deux bits on peut représenter quatre états différents ( 2*2 ) :

Avec trois bits on peut représenter huit états différents ( 2*2*2 ) :

On peut étendre cette progression et énoncer une loi fondamentale : n bits ====> 2ⁿ états différents .
On appelle octet (ou byte) un bloc de huit bits soit 2⁸ =256 états différents :

Les multiples

Le kilo-octet (Ko) vaut 2¹⁰ octets = 1024 octets :

Le méga-octet (Mo) vaut 2¹⁰ Ko = 1024 Ko = 2²⁰ octets = 1 048 576 octets

1 octet

Le plus petit nombre est 0 , le plus grand 255 soit 256 états différents .

III La base 16 ou Hexadécimale

Les nombres binaires étant de plus en plus longs à manipuler, on a introduit l'hexadécimale plus pratique à manipuler .

On calcule alors en base 16 : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , A , B , C , D , E , F :

Voici une animation flash : si vous ne la remarquez pas télécharger le plug'in (http://www.macromedia.com/fr/downloads/)

Exemple : 27 en base 10 = 1*16¹ + B*16⁰ soit 1B en base 16

ou le nombre FB5 en base 16 = F*16² + B*16¹ + 5*16⁰ = 3840+176+5 = 4021

Pour convertir un octet en hexadécimale , on le partage en deux groupes de 4 bits . Chacun de ces groupes correspond à un chiffre hexadécimal .

Exemple : 1011 1001 en base 2

B 9 en base 16

L'inverse par exemple de 1AD7 en base 16

1AD7 en base 16 = 1*16³ + 10*16² + 13*16¹ + 7*16⁰ = 4096 + 2560 + 208 + 7 = 6871 en base 10

= 0001 1010 1101 0111 en base 2 4096+2048+512+128+64+16+4+2+1 = 6871

© Ministère de l'Éducation nationale/Direction de l'enseignement scolaire - juillet 2001
Document proposé par le groupe d'experts de Physique Chimie